Πώς να υπολογίσω σωστά τις ποσότητες για τη δική μου φόρμα;

13 Μάιος 2014 Cookpad Greece

 Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε με ένα σωστό τρόπο τις ποσότητες των υλικών που θα χρειασθούμε για μία συνταγή, στην περίπτωση που θελήσουμε να την κάνουμε σε σκελτος διαφορετικού σχήματος η/και μεγάθους από εκείνο της συνταγής; Ή, διαφορετικά, δεν βγάζετε τις ποδιές τις κουζίνας, να φορέσετε τις άλλες, τις σχολικές, να πάμε να κάνουμε λίγη γεωμετρία;

“-Δεν έχω μακρόστενη φόρμα, μπορώ να φτιάξω το μπισκοτογλυκό σε τούρτα, για τα γενέθλια του γιού μου; Εάν ναι, τι διάμετρο πρέπει να έχει η φόρμα;”
upologismos1“Πολύ ωραία μου φαίνεται η τούρτα, μπορώ να τη φτιάξω σε παραλληλόγραμμο σχήμα; Έχω ένα δίσκο από το γάμο μου και θα ήθελα να τον χρησιμοποιήσω..”
“-Θέλω να φτιάξω την πατσαβουρόπιτα σε μακρόστενη φόρμα, να μπαίνει εύκολα στο ψυγείο. Θα χρησιμοποιήσω τις ίδιες ποσότητες υλικών;”
Πόσες φορές δεν έχετε διαβάσει κάποιες τέτοιες ερωτήσεις, ακόμη και εδώ μέσα, σε αυτό το site; Πόσες φορές δεν έχετε σκεφθεί και οι ίδιες “ποιό να είναι το στρογγυλό ισοδύναμο μιας τετράγωνης φόρμα 25 x 25 εκατοστών; Ακόμη και το πολύ πιο απλό “Για να φτιάξω διπλάσια ποσότητα, πόσο μεγαλύτερο πρέπει να είναι το στρογγυλό ταψί μου;” Μπερδεμένα πράγματα...
Ωραία! Για να δούμε εάν πράγματι είναι τόσο τζαναμπέτικα όσο μοιάζουν με μία πρώτη ματιά... Θα σας πάρω να κάνουμε όλοι μαζί ένα ταξίδι πίσω, στα χρόνια του σχολείου και να θυμηθούμε μερικούς απλούς γεωμετρικούς τύπους (δεν λέω “μαθηματικούς”, γιατί ξέρω ότι υπάρχει πολύς κόσμος που “βγάζει καντήλες” και μόνο στο άκουσμα αυτής της λέξης…). Γεωμετρία, λοιπόν… Γεωμετρία και εμβαδά (αλλά και όγκοι) των βασικών σχημάτων… Τετράγωνο, παραλληλόγραμμο, κύκλος (και κύβος, παραλληλεπίπεδο και κύλινδρος). Πράγματα απλά και εύκολα, που όμως ίσως χρειάζονται ένα ελαφρύ ξεσκόνισμα. Πάμε λοιπόν! (και οι παλιοί μου δάσκαλοι ας με συγχωρούν γι’ αυτό. Εκείνοι ήλπιζαν να με δουν να ...τριχοτομώ τη γωνία κάποτε, όχι να υπολογίζω ισοδυναμίες ανάμεσα σε ορθογώνια και κυκλικά ταψιά…)

ΑΠΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ, ΜΗ ΤΟΥΣ …ΞΟΡΚΙΖΕΤΕ
ΟΚ: Ας ξεκινήσουμε από το ότι είναι κάτι πολύ απλό. Αρκούν τρεις τύποι και θα μπορείτε να προσδιορίζετε εύκολα το μαγικό συντελεστή που θα σας επιτρέπει –επιτέλους– να υπολογίζετε τις αναλογίες που χρειάζεστε.
ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ: πλευρά x πλευρά
ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ: μήκος x πλάτος
ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ: το τετράγωνο της ακτίνας (δηλαδή, ακτίνα x ακτίνα) πολλαπλασιασμένο επί τη σταθερά “πι”, δηλαδή επί 3,14 (Μη ψάξετε να βρείτο συμβολο “πι” ανάμεσα στα πλήκτρα του υπολογιστή σας, δυστυχώς δεν υπάρχει…)
Ας κάνουμε από ένα συγκεκριμένο παράδειγμα για κάθε σχήμα;
Τετράγωνο ταψάκι, πλευρών 20 εκ. ΕΜΒΑΔΟΝ: 20 x 20 = 400 τετρ. εκ.
Ορθογώνιο ταψάκι, 10 επί 30 εκ. ΕΜΒΑΔΟΝ: 10 x 30 = 300 τετρ. εκ.
Κυκλικό ταψάκι, διαμέτρου 24 εκ. ΕΜΒΑΔΟΝ: (12 x 12) x 3,14 = 452,16 τετρ. εκ. (ασφαλώς δεν μπερδευθήκατε που χρησιμοποίησα τον αριθμό 12 αντί του 24, η ακτίνα είναι το μισό (ακριβώς!!!) της διαμέτρου
 
ΑΠΛΟΙ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΙΝΑΙ, ΑΛΛΑ ΜΗ ΤΟΥΣ …ΥΠΟΤΙΜΑΤΕ
Πάμε ένα βήμα πιο μπροστά. Θα πρέπει να βρούμε ποια είναι η σχέση ανάμεσα στα μεγέθη (στα εμβαδά) δύο διαφορετικών ταψιών.
upologismos3Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να ετοιμάσετε ένα γλυκό, για το οποίο έχετε τη συνταγή με υλικά που βγάζουν ένα τετράγωνο ταψάκι, πλευρών 20 εκ  Εσείς όμως θέλετε να το ετοιμάσετε σε στρογγυλό ταψάκι. Η διάμετρός του; 24 εκατοστά. Τι κάνουμε τώρα; Η σχέση των εμβαδών των δύο σκευών είναι: 452,16/400 = 1,13. Ό εστί μεθερμηνευόμενο, που σημαίνει δηλαδή, ότι το δικό σας το στρογγυλό ταψάκι είναι κατά 13% μεγαλύτερο του τετράγωνου.
Θα προσέξατε ότι πρώτο στην παραπάνω σχέση έχουμε βάλει το μέγεθος του ταψιού που έχουμε και δεύτερο το μέγεθος του ταψιού από το οποίο ξεκινούμε. Αυτό θα πρέπει να το τηρείτε πάντα.upologismos4 Εάν, λοιπόν, η σχέση των δύο σκευών δίνει αποτέλεσμα μεγαλύτερο του “1” το ταψί σας είναι μεγαλύτερο, άρα και οι ποσότητες που θα χρειασθείτε είναι μεγαλύτερες από εκείνες της συνταγής που θέλετε να κάνετε. Πόσο μεγαλύτερες; Τόσο “τοις εκατό” όσο και τα δεκαδικά ψηφία μετά την υποδιαστολή.
Και εάν είχατε, αντί για το στρογγυλό, ένα ορθογώνιο ταχάκι πλευρών 10 επί 30 εκ.; Σε αυτήν την περίπτωση, η σχέση των εμβαδών των δύο σκευών είναι: 300/400 = 0,75. upologismos5Και πάλι, πρώτο στην παραπάνω σχέση έχουμε βάλει το μέγεθος του ταψιού που έχουμε, μόνο που τώρα το αποτέλεσμα είναι μικρότερο του “1”; Ε, και το δικό σας ταψί είναι μικρότερο, άρα και οι ποσότητες που θα χρειασθείτε είναι μικρότερες από εκείνες της συνταγής των ονείρων σας…. Πόσο μικρότερες; Τόσο “τοις εκατό” όσο και το αποτέλεσμα που θα προκύψει εάν αφαιρέσετε αυτό το αποτέλεσμα από το “1”. Στην προκειμένη περίπτωση 1-0,75 = 0,25 = 25%.
Σαν να πλησιάζουμε σε ένα αποτέλεσμα… Έχοντας πια το μαγικό συντελεστή στη διάθεσή σας, δεν έχετε παρά να πολλαπλασιάσετε κάθε μία από τις ποσότητες της συνταγής που έχετε στη διάθεσή σας επί αυτόν τον συντελεστή και να έχετε εκείνες που θα χρειασθείτε για να την φτιάξετε για το δικό σας σκεύος.
Εάν η συνταγή, για παράδειγμα, μιλάει για 150 γραμμάρια ζάχαρης, εσείς θα χρειασθείτε για το μεν κυκλικό ταψί σας 170 γρ., για δε το ορθογώνιο 112,5 γρ.
Μάλισταααα! Και εάν τα πράγματα γίνουν λίγο πιο δύσκολα; “-Είναι και εκείνο το κεραμικό σκεύος που μας έκανε δώρο ο αδελφός του άνδρα μου, πάνε χρόνια τώρα, θα ήθελα να το χρησιμοποιήσω μεθαύριο που θα έρθουν στο σπίτι με τη γυναίκα του. (και είναι μία αυτή, μη σε πάρει στο στόμα της...”.upologismos6 Κανένα πρόβλημα, κυρίες μου!!! Τι είναι, άλλωστε, η έλλειψη; Ένας κύκλος που κάποιος τον... ξεχείλωσε λίγο (έως πολύ). Ευτυχώς που ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε λίγο με το θέμα και βρήκε ότι ο τύπος της έλλειψης... δεν είναι άλλος από τον τύπο του κύκλου, με τη διαφορά ότι εδώ έχουμε δύο διαμέτρους, διαφορετικών διαστάσεων.
ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΛΛΕΙΨΗΣ: ακτίνα x ακτίνα x τη σταθερά “πι” (r1 x r2 x 3,14).
Εάν, λοιπόν το μέγεθος του οβαλ σκεύους του κουνιάδου σας είναι 40 x 26 εκατοστά, οι ακτίνες του θα είναι, η μεν μεγάλη 10 εκ. η δε μικρή 6, οπότε το εμβαδόν της υπολογίζεται σε 13 x 20 x 3,14 = 816,4 εκ.
Αυτό είναι όλο!!! Δυό μικροί υπολογισμοί και έχουμε τον μαγικό συντελεστή!!!  Έτοιμες για πανηγύρια; (οι αλχημιστές, στον Μεσαίωνα, περνούσαν όλη τους τη ζωή σε αναζήτηση αυτή της στιγμής… σε αναζήτηση της μαγικής σχέσης, που θα τους επέτρεπε να μετατρέψουν την πέτρα σε χρυσάφι…)

ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗ ΜΠΑΝΑΝΟΦΛΟΥΔΑ!!!
Επειδή όμως τα πράγματα δεν είναι ποτέ τόσο απλά όσο φαίνονται, η κατάσταση που περιγράψαμε πιο πάνω είναι μία ιδανική κατάσταση… Έχει εφαρμογή όταν τα σκεύη που συγκρίνουμε είναι του ίδιου ή σχεδόν του ίδιου ύψους.
Εάν υπάρχει μεγάλη διαφορά και στο σημείο αυτό, τότε τα πράγματα περιπλέκονται. Και η σχέση εμβαδόν θα πρέπει να γίνει σχέση όγκων:
Εάν, λοιπόν, στην περίπτωση του τετράγωνου και του κυκλικού ταψιού το μεν πρώτο έχει βάθος 5 εκατ. ενώ το δεύτερο 8 εκατ., ο υπολογισμός των υλικών πρέπει να γίνει με βάση τη σχέση των όγκων του
ΟΓΚΟΣ ΤΑΨΙΟΥ: εμβαδόν βάσης x ύψος (και ισχύει για βάσεις όλων των σχημάτων)
Έτσι, ο όγκος του τετράγωνου ταψιού θα είναι 20 x 20 x 5 = 2.000 κυβ. εκ., ενώ ο όγκος του στρογγυλού (12 x 12) x 3,14 x 8 = 3.617,28 κυβ. εκ. Η σχέση των όγκων των δύο σκευών είναι: 3.617,28 /2.000 = 1,81. upologismos9Το οποίο σημαίνει ότι το δικό σας στρογγυλό ταψάκι είναι, πλέο, κατά 81% μεγαλύτερης χωρητικότητας από το τετράγωνο. Σε αυτήν την περίπτωση, εάν η αρχική συνταγή έλεγε για εκείνα τα 150 γραμμάρια ζάχαρης, εσείς θα χρειασθείτε για το κυκλικό ταψί σας 270 γρ.
Να δούμε άλλο ένα παράδειγμα: Μία τάρτα φράουλας φτιαγμένη σε μία τετράγωνη φόρμα διαστάσεων 15 x 15 x 5  χρειάζεται 160 ml κρέμας γάλακτος. Πόση κρέμα γάλακτος θα χρειασθούμε για να την ετοιμάσουμε σαν τούρτα, σε κυκλική φόρμα διαμέτρου 26 εκατ και ύψους 8 εκ.;
-    στην πρώτη περίπτωση, ο όγκος της τετράγωνης φόρμας είναι 15 x 15 x 5 = 1.125  κυβ. εκ.
-    στη δεύτερη περίπτωση, ο όγκος της κυκλικής φόρμας είναι (13 x 13) x 3,14 x 8 =4.245 κυβ. εκ.
Προκύπτει λοιπόν, ότι η σχέση χωρητικότητας των δύο σκευών, ο μαγικός συντελεστής, είναι 4.245/1.125 = 3,77 και συνεπώς, η ποσότητα της κρέμας γάλακτος που θα απαιτηθεί είναι: 3,77 x 160 = 600 γρ.
Α, το είδατε; Η σχέση μεταξύ των διαστάσεων (σε εκ.) των φορμών, που έγινε σχέση βάρους (σε γρ.) μεταξύ των υλικών, έγινε τώρα (και παραμένει η ίδια) σχέση όγκων (σε ml). Καταλαβαίνετε λοιπόν γιατι τον λέω “μαγικό” αυτόν το συντελεστή;

Μήπως μπορούμε να τον εφαρμώσουμε και για ...στόματα, για ανθρώπους; Για να δούμε: Τι λέει η συνταγή που θέλετε να φτιάξετε; Ότι “σερβίρει 4 άτομα” Ναι. Αλλά εσάς θα σας έρθουν τα πεθερικά και μαζί ο αδελφός του άνδρα σας μαζί με το καινούργιο του “φλερτ”. Το όλον εννέα άτομα.upologismos10 Και αυτή η “anemonastotrapezi84” σε τετράγωνο ταψάκι 20 x 20 βρήκε να το φτιάξει το παστίτσιο, βρε παιδί μου... Και εσείς που έχετε μόνο ορθογώνιου σχήματος πυρέξ;
Θα κάνετε την παραδοχή ότι, πάνω κάτω, τα δύο σκεύη έχουν το ίδιο ύψος. Μπορεί να μη το αναφέρει η καλή μας “anemonastotrapezi84”, αλλά δεν θα πέσουμε έξω θεωρώντας ότι τα ύψος είναι το ίδιο. Κανείς δεν φτιάχνει παστίτσιο σε σκεύος ύψους ...ταρτιέρας, ούτε όμως και σε βαθιά ...γάστρα.
Τέσσερα στόματα εκείνη, εννέα εμείς… Αμέσως αμέσως προσδιορίσαμε μία σχέση 9/4 = 2,25. Κάθε υλικό της συνταγής, εσείς θα το υπολογίσετε 2,25 φορές περισσότερο.
Ναι, αλλά τι σκεύος θα διαλέξετε; Θα πρέπει να μετατρέψετε το τετράγωνο ταψί σε κάποιο από τα ορθογώνιά σας. Αλλά ποιό; Το εμβαδόν του σκεύους της “anemonas bla bla” είναι 20 x 20 = 400 τετρ. εκ. Εμείς θα χρειασθούμε κάποιο με εμβαδόν 400 x 2,25 = 900 τετρ. εκ. Τι είναι το σκεύος μας; Παραλληλόγραμμο είπαμε. Συνεπώς το εμβαδόν υπολογίζεται από το γινόμενο πλευρά x πλευρά. Οποιοσδήποτε συνδυασμός αριθμών που δίνουν γινόμενο κοντά στο 900, σας κάνει. Κάποιοι τέτοιοι είναι, μεταξύ άλλων και οι: 25 x 36, 20 x 45, 22 x 40, κλπ.

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΝΟΝΤΑΣ
Τώρα που τα παίζετε όλα αυτά στα δάκτυλα, ορίστε μία μικρή άσκηση για το δρόμο:
Γνωρίζοντας ότι ένα macaron έχει διάσταση (διάμετρο) 4 εκατοστά, ότι ο φούρνος μου έχει πλάτος 60 εκατοστά, ότι η ώρα, σήμερα Πέμπτη, είναι 18:37 και ότι το ύψος του ψήστη είναι 1.96, γιατί τα άτιμα δεν λένε να μου φωσκώσουν;

 

Πηγές:

http://www.calcfun.com